Решение №3811 На рисунке изображён график функции f(x) = ax^2 + bx + c. Найдите значение f(-1).

Решение:

    Возьмём 3 точки с целочисленными координатами принадлежащие параболе:

    Подставив их координаты х и у (это f(x)) получим систему из 3-х уравнений:

\begin{cases} 2=a\cdot 3^{2}+b\cdot 3+c \\ 5=a\cdot 4^{2}+b\cdot 4+c \\4=a\cdot 5^{2}+b\cdot 5+c\end{cases}\\\begin{cases} 2=9a+3b+c \\ 5=16a+4b+c \\4=25a+5b+c\end{cases}

    От всех 3-х уравнений отнимем 1-е уравнение, получим:

\begin{cases} 2-2=9a-9a+3b-3b+c-c \\ 5-2=16a-9a+4b-3b+c-c \\4-2=25a-9a+5b-3b+c-c\end{cases}\\\begin{cases} 0=0 \\ 3=7a+b \\2=16a+2b\end{cases}

    Из 2-го уравнения выразим b:

b = 3 – 7a

    И подставим в 3-е уравнение, так найдём а:

2 = 16a + 2·(3 – 7a)
2 = 16а + 6 – 14а
2 – 6 = 2а
–4 = 2а
а = –4/2 = –2

    Зная а, найдём b:

b = 3 – 7a = 3 – 7·(–2) = 3 + 14 = 17

    Подставим значения а и b в 1-е уравнение и найдём с:

 2 = 9a + 3b+c
2 = 9·(–2) + 3·17 + с
2 = –18 + 51 + с
с = –31

    Функция имеет вид:

f(x) = –2x² + 17x – 31

    Найдём f(–1):

f(–1) = –2·(–1)² + 17·(–1) – 31 = –2 – 17 – 31 = –50

Ответ: –50.