На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax + |bx + c| + d, где числа a, b, c и d – целые. Найдите корень уравнения ax + d = 0.
Источники: Александр Иванов, решуегэ.рф.
Решение:
На графике представлена кусочно-линейная функция, раскроем модуль по определению:
f(x) = ax + |bx + c| + d
Уравнение прямой имеет вид:
y = kx + l
Найдём вид каждой из прямых:
Найдём k и l левой прямой:
k – тангенс угла (α) наклона прямой, по отношению к оси х. Тангенс – это отношение противолежащего катета, к прилежащему катету. Тангенсы смежных углов равны по модулю, но противоположны по знаку.
Найдём тангенс угла β, смежного к искомому углу:
l – сдвиг прямой по оси у, по графику видим, прямая сдвинута от 0 на 3.
l = 3
Уравнение прямой слева имеет вид:
y = –1·x + 3
Найдём k и l прямой справа:
Подставим координаты точки (3;4), принадлежащие прямой и k = 3, найдём l:
4 = 3·3 + b
4 – 9 = b
l = –5
Уравнение прямой справа имеет вид:
y = 3x – 5
Соотнеся коэффициенты k (а ± b) и l (±c + d) уравнений после раскрытия модуля и коэффициенты k и l уравнения прямых получаем систему уравнений (cоотнести можно в любом порядке, нужные нам коэффициенты a и d находятся вне модуля (f(x)=ax+|bx+c|+d), на их значения это не повлияет):
Сложим 1-е со 3-м уравнением и 2-е с 4-м уравнением:
Найдём корень искомого уравнения:
ax + d = 0
1·x – 1 = 0
х = 1
Ответ: 1.