В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.
Источники: fipi, os.fipi
Решение:
В правильной треугольной пирамиде основанием является равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике медиана является высотой и биссектрисой. Точка Н является точкой пересечения медиан.
По теореме о пересечении медиан в равностороннем треугольнике:
AH=\frac{2}{3}AM
Медиана АМ делит сторону СВ пополам. В прямоугольном ΔАМВ по теореме Пифагора:
АВ2 = ВМ2 + AM2
AB^{2}=(\frac{AB}{2})^{2}+AM^{2}\\AB^{2}=\frac{AB^{2}}{4}+AM^{2}\\AB^{2}-\frac{AB^{2}}{4}=AM^{2}\\\frac{AB^{2}\cdot 4–AB^{2}\cdot 1}{4}=AM^{2}\\\frac{3AB^{2}}{4}=AM^{2}\\AM=\frac{\sqrt{3}AB}{2}
Подставим значение АМ и найдём АН:
AH=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 10,5=\sqrt{3}\cdot 3,5
Из прямоугольного ΔSHA по теореме Пифагора найдём высоту SH:
SA2 = SH2 + AH2
7^{2}= SH^{2} + (\sqrt{3}\cdot 3,5)^{2}\\7^{2}= SH^{2} + (\sqrt{3}\cdot 3,5)^{2}\\49= SH^{2} + 3\cdot (\frac{7}{2})^{2}\\49= SH^{2} + 3\cdot \frac{49}{4}\\49-\frac{3\cdot 49}{4}=SH^{2}\\\frac{49\cdot 4–3\cdot 49}{4}=SH^{2}\\\frac{49}{4}=SH^{2}\\SH=\frac{7}{2}=3,5
Ответ: 3,5.