Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 52. Точка Е – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды ЕАВС.
Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2018.
Решение:
Объём пирамиды находится по формуле:
V=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h
Объём пирамиды SABCD равен 52 и находится по формуле:
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=52
Основание пирамиды ЕАВС в два раза меньше основания пирамиды SABCD:
S_{АВС}=\frac{S_{ABCD}}{2}
По условию E середина SB, отсюда SE = EB, тогда:
EB=\frac{SB}{2}
Высота пирамиды ЕАВС в два раза меньше высоты пирамиды SABCD (как соответствующие стороны подобных по двум равным углам треугольников):
EH=\frac{SO}{2}
Найдём объём пирамиды ЕАВС:
V_{ЕАВС}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot \frac{SO}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{S_{ABCD}}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot SO=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{4}\cdot V_{SABCD}=\frac{1}{4}\cdot 52=13
Ответ: 13.