Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
Источники: mathege, Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар).
Решение:
Проведём перпендикуляр (апофему) SG:
ΔASD равносторонний (∠SAH = ∠SDH = 60°), SH – высота, а значит и медиана AH = HD.
Из прямоугольного треугольника AHS:
tg60°=\frac{SH}{AH}\\\sqrt{3}=\frac{6}{AH}\\AH=\frac{6{\color{Blue} \cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{3}{\color{Blue} \cdot \sqrt{3}}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}
AH = HD = 2√3
AD = AH + HD = 2√3 + 2√3 = 4√3 – одна из сторон основания пирамиды.
ΔAHS = ΔGHS (Если катет (SH = 6) и противолежащий ему острый угол (SAH = 60°) одного прямоугольного треугольника (ΔAHS) соответственно равны катету (SH = 6) и противолежащему ему острому углу (SGH = 60°) другого прямоугольного треугольника (ΔGHS), то такие треугольники равны.)
Тогда, AH = HG = 2√3, как соответствующие стороны равных треугольников.
AB = HG = 2√3 – вторая сторона основания пирамиды.
Объём пирамиды:
V=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot AD\cdot AB\cdot HS=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 6=2\cdot 8\cdot 3=48
Ответ: 48.