На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции g(x) = 6f(x) − 3x в точке x0.
Решение:
Найдём производную функции g(x):
g′(x) = (6f(x) – 3x)′= 6f′(x) – 3
Найдём значение f′(x) в точке x0. Оно равно тангенсу угла наклона касательной к оси Ох. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
tg α = f′(x) = \frac{4}{6}=\color{Red} \frac{2}{3}
Мы нашли тангенс красного угла, тангенс же нужного нам синего угла, будет со знаком –.
tg α = f′(x) = \color{Blue} -\frac{2}{3}
Найдём значение g′(x):
g′(x) = 6f′(x) – 3 = 6·(\color{Blue} -\frac{2}{3}) – 3 = –4 – 3 = –7
Ответ: –7.