Решение №3492 Прямая у = 5х + 11 является касательной к графику функции у = х^3 + 4х^2 + 9х + 11.

Решение:

    В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных.
    Найдём значения производных:

y′ = 5x + 11 = 5
y′ = x³ + 4x² + 9x + 11 = 3x² + 8x + 9

    Приравняем производные, найдём абсциссу точки:

3x² + 8x + 9 = 5
3x² + 8x + 4 = 0

D = 8² – 4·3·4 = 16 = 4²
x_{1}=\frac{–8+4}{2\cdot 3}=\frac{–4}{6}=–\frac{2}{3}\\x_{2}=\frac{–8–4}{2\cdot 3}=\frac{–12}{6}=–2

    Приравняем уравнения касательной и функции:

x³ + 4x² + 9x + 11 = 5x + 11
x³ + 4x² + 4x = 0

    Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:

х = –2
x³ + 4x² + 4x = 0
(–2)³ + 4·(–2)² + 4·(–2) = 0
0 = 0 – верно

х = –\frac{2}{3}
x³ + 4x² + 4x = 0
(–\frac{2}{3})³ + 4·(–\frac{2}{3})² + 4·(–\frac{2}{3}) ≠ 0
-\frac{8}{27}+4\cdot \frac{4}{9}-\frac{8}{3}\neq 0\\\frac{–8+4\cdot 4\cdot 3–8\cdot 9}{27}\neq 0\\\frac{–32}{27}\neq 0
не верно

    Абсцисса точки касания х = –2.

Ответ: –2.