Прямая у = 5х + 11 является касательной к графику функции у = х3 + 4х2 + 9х + 11. Найдите абсциссу точки касания.

Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)

Решение:

    В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных.
    Найдём значения производных:

y′ = 5x + 11 = 5
y′ = x3 + 4x2 + 9x + 11 = 3x2 + 8x + 9

    Приравняем производные, найдём абсциссу точки:

3x2 + 8x + 9 = 5
3x2 + 8x + 4 = 0

D = 82 – 4·3·4 = 16 = 42
x_{1}=\frac{–8+4}{2\cdot 3}=\frac{–4}{6}=–\frac{2}{3}\\x_{2}=\frac{–8–4}{2\cdot 3}=\frac{–12}{6}=–2

    Приравняем уравнения касательной и функции:

x3 + 4x2 + 9x + 11 = 5x + 11
x3 + 4x2 + 4x = 0

    Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:

х = –2
x3 + 4x2 + 4x = 0
(–2)3 + 4·(–2)2 + 4·(–2) = 0
0 = 0верно


х = –\frac{2}{3}
x3 + 4x2 + 4x = 0
(–\frac{2}{3})3 + 4·(–\frac{2}{3})2 + 4·(–\frac{2}{3}) ≠ 0
-\frac{8}{27}+4\cdot \frac{4}{9}-\frac{8}{3}\neq 0\\\frac{–8+4\cdot 4\cdot 3–8\cdot 9}{27}\neq 0\\\frac{–32}{27}\neq 0
не верно

    Абсцисса точки касания х = –2.

Ответ: –2.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.