Прямая y = 5x – 8 является касательной к графику функции y = 6x2 + bx + 16. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)
Решение:
В точке касания функции и прямой значения у равны:
6x2 + bx + 16 = 5x – 8
6x2 + bx + 16 – 5x + 8 = 0
6x2 + (b – 5)·x + 24 = 0
Точка касания единственная, уравнение должно иметь 1 решение, значит D = 0.
D = (b – 5)2 – 4·6·24 = 0
b2 – 10b + 25 – 576 = 0
b2 – 10b – 551 = 0
D = (–10)2 – 4·1·(–551) = 2304 = 482
b_{1}=\frac{10+48}{2\cdot 1}=\frac{58}{2}=29\\b_{2}=\frac{10–48}{2\cdot 1}=\frac{–38}{2}={\color{Blue} -19}
В точке касания абсцисса х > 0, значит b < 5 иначе при подстановке положительного х равенство точно не выполнится (т.к. все слагаемые будут положительные):
6x2 + (b – 5)·x + 24 = 0
Получаем b = –19.
Ответ: –19.