Прямая 𝑦 = −4𝑥 − 11 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥3 + 7𝑥2 + 7𝑥 − 6. Найдите абсциссу точки касания.
Источник: Пробный ЕГЭ 2016
Решение:
В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных.
Найдём значения производных:
𝑦′ = −4𝑥 − 11 = –4
𝑦′ = 𝑥3 + 7𝑥2 + 7𝑥 − 6 = 3х2 + 14х + 7
Приравняем производные, найдём абсциссу точки:
3х2 + 14х + 7 = –4
3х2 + 14х + 11 = 0
D = 142 – 4·3·11 = 64 = 82
Приравняем уравнения касательной и функции:
𝑥3 + 7𝑥2 + 7𝑥 − 6 = −4𝑥 − 11
𝑥3 + 7𝑥2 + 11𝑥 + 5 = 0
Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:
х = –1
(–1)3 + 7·(–1)2 + 11·(–1) + 5 = 0
0 = 0 – верно
х =
()3 + 7·(
)2 + 11·(
) + 5 = 0
– не верно
Абсцисса точки касания х = –1.
Ответ: –1.