Прямая y = −4x − 11 является касательной к графику функции y = x3 + 7x2 + 7x − 6. Найдите абсциссу точки касания.
Источник: Пробный ЕГЭ 2016
Решение:
В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных.
Найдём значения производных:
y′ = −4x − 11 = –4
y′ = x3 + 7x2 + 7x − 6 = 3x2 + 14x + 7
Приравняем производные, найдём абсциссу точки:
3х2 + 14х + 7 = –4
3х2 + 14х + 11 = 0
D = 142 – 4·3·11 = 64 = 82
x_{1}=\frac{–14+8}{2\cdot 3}=\frac{–6}{6}=–1\\x_{2}=\frac{–14–8}{2\cdot 3}=\frac{–22}{6}=–\frac{11}{3}
Приравняем уравнения касательной и функции:
x3 + 7x2 + 7x − 6 = −4x − 11
x3 + 7x2 + 11x + 5 = 0
Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:
х = –1
x3 + 7x2 + 11x + 5 = 0
(–1)3 + 7·(–1)2 + 11·(–1) + 5 = 0
0 = 0 – верно
х = –\frac{11}{3}
x3 + 7x2 + 11x + 5 = 0
(–\frac{11}{3})3 + 7·(–\frac{11}{3})2 + 11·(–\frac{11}{3}) + 5 = 0
Абсцисса точки касания х = –1.
Ответ: –1.