Решение №1938 Прямая 𝑦=−4𝑥−11 является касательной к графику функции 𝑦=𝑥^3+7𝑥^2+7𝑥−6.

Прямая 𝑦 = −4𝑥 − 11 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥³+ 7𝑥²+ 7𝑥 − 6. Найдите абсциссу точки касания.

Источник: Пробный ЕГЭ 2016

Решение:

В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных.
Найдём значения производных:

𝑦′ = −4𝑥 − 11 = –4
𝑦′ = 𝑥³+ 7𝑥²+ 7𝑥 − 6 = 3х² + 14х + 7

Приравняем производные, найдём абсциссу точки:

3х² + 14х + 7 = –4
3х² + 14х + 11 = 0
D = 14² – 4·3·11 = 64 = 8²

$x_{1}=\frac{-14+8}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1$

$x_{2}=\frac{-14-8}{2\cdot3}=\frac{-22}{6}=-\frac{11}{3}$

Приравняем уравнения касательной и функции:

𝑥³+ 7𝑥²+ 7𝑥 − 6 = −4𝑥 − 11
𝑥³+ 7𝑥²+ 11𝑥 + 5 = 0

Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:

х = –1
(–1)³+ 7·(–1)²+ 11·(–1) + 5 = 0
0 = 0 – верно

х =
()³+ 7·()²+ 11·() + 5 = 0

– не верно

Абсцисса точки касания х = –1.

Ответ: –1.