Прямая 𝑦 = −4𝑥 − 11 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥3 + 7𝑥2 + 7𝑥 − 6. Найдите абсциссу точки касания.

Источник: Пробный ЕГЭ 2016

Решение:

    В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных.
    Найдём значения производных:

𝑦′ = −4𝑥 − 11 = –4
𝑦′ = 𝑥3 + 7𝑥2 + 7𝑥 − 6 = 3х2 + 14х + 7

    Приравняем производные, найдём абсциссу точки:

3х2 + 14х + 7 = –4
3х2 + 14х + 11 = 0
D = 142 – 4·3·11 = 64 = 82

    Приравняем уравнения касательной и функции:

𝑥3 + 7𝑥2 + 7𝑥 − 6 = −4𝑥 − 11
𝑥3 + 7𝑥2 + 11𝑥 + 5 = 0

    Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:

х = –1
(–1)3 + 7·(–1)2 + 11·(–1) + 5 = 0
0 = 0верно


х = blank
(blank)3 + 7·(blank)2 + 11·(blank) + 5 = 0

blank

blank

blank

blank не верно

    Абсцисса точки касания х = –1.

Ответ: –1.