Найдите значение выражения \sqrt{2}sin\frac{7\pi}{8}cos\frac{7\pi}{8}.
Источник: fipi, os.fipi, Основная волна 2017, Основная волна 2022.
Решение:
Умножим и поделим выражение на 2, что бы можно было использовать формулу синуса двойного угла:
\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{8}cos\frac{7\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{8}cos\frac{7\pi}{8}\cdot 2}{2}=\frac{\sqrt{2}sin(2\cdot \frac{7\pi}{8})}{2}=\frac{\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{4}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot (–\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}=\frac{–\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{2}}{2}=\frac{–\frac{2}{2}}{2}=–\frac{1}{2}=–0,5
*Значение sin\frac{7\pi}{4} находим по тригонометрическому кругу:
sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
*Или по формулам приведения:
sin\frac{7\pi}{4}=sin(\frac{8\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin(2\pi-\frac{\pi}{4})=-sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
Ответ: –0,5.