Решение №2092 Около окружности, радиус которой равен 1, описан многоугольник, периметр которого равен 8. Найдите его площадь.

Около окружности, радиус которой равен 1, описан многоугольник, периметр которого равен 8. Найдите его площадь.

Источник: mathege

Решение:

Соединим центр окружности О с вершинами многоугольника. Проведём радиусы к сторонам многоугольника, являющимися касательными.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Полученные углы будут прямыми, значит радиусы являются высотами треугольников.

Найдём площадь многоугольника как сумму площадей треугольников:

$S_{ABCDE}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOE}+S_{EOA}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot R+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot R+\frac{1}{2}\cdot CD\cdot R+\frac{1}{2}\cdot DE\cdot R+\frac{1}{2}\cdot EA\cdot R=\frac{1}{2}\cdot R\cdot (AB+BC+CD+DE+EA)=\frac{1}{2}\cdot R\cdot P=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 8=4$

(или можно сразу считать по формуле площади многоугольника, описанного около окружности: $S_{многоуг.}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot P$ , если помните её)

Ответ: 4.