Решение №2047 Высота правильного треугольника равна 33. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Высота правильного треугольника равна 33. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источник: mathege

Решение:

В правильном треугольнике все углы равны 60°. Найдём сторону правильного ΔАВС, из прямоугольного ΔАСН:

$sin\angle CAH=\frac{CH}{AC}$

$sin\, 60^{\circ}=\frac{33}{AC}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{33}{AC}$

√3·AC = 2·33
√3·AC = 66

$AC=\frac{66}{\sqrt{3}}$

Найдём радиус описанной окружности по расширенной теореме синусов:

$\frac{a}{sin\alpha }=2R$

$\frac{\frac{66}{\sqrt{3}}}{\sin 60^{\circ}}=2R$

$\frac{\frac{66}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$

$\frac{66\cdot 2}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=2R$

$\frac{66}{3}=R$

$R=22$

Так же получаем, что радиус описанной около правильного треугольника всегда равен $\frac{2}{3}$ его высоты:

$R=\frac{33\cdot 2}{3}=33\cdot \frac{2}{3}=CH\cdot \frac{2}{3}$

Ответ: 22.