Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию.

Источник: Пробный ЕГЭ 2017

Решение:

    По условию СН = 10, НВ = 1. Найдём чему равны боковые стороны равнобедренного ΔАВС:

СВ = АС = СН + НВ = 10 + 1 = 11

    Проведём отрезок ОВ:

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка

    ΔОНВ = ΔОКВ (ОВ – общая гипотенуза, ∠К = ∠Н = 90º, ОН = ОК, как радиусы), значит соответствующие стороны равны:

НВ = КВ = 1

    Найдём основание АВ равнобедренного ΔАВС:

АВ = НВ + КВ = 1 + 1 = 2

    Найдём периметр ΔАВС:

РАВС = СВ + СА + АВ = 11 + 11 + 2 = 24

Ответ: 24.