Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение:

    О – центр не вписанной окружности, Q – центр вписанной окружности, по условию получаем рисунок:

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12.

    Достроим ОВ, которая является биссектрисой равнобедренного ΔАВС, а значит и медианойCH = AH = 12/2 = 6. Достроим радиусы QK и OL к касательной DC. Радиус и касательная всегда пересекаются под прямым углом.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

    По свойству отрезков касательных к окружности проведённых из одной точки CH = CK = CL = 6.
    Обозначим радиус вписанной окружности r. LOQK прямоугольная трапеция, проведём в ней высоту и рассмотрим ΔNQO.
Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC .
    Сторона ON = KL = 12, как противоположные стороны прямоугольника. OQ = 8 + r, это сумма радиусов. NO = 8 r. Треугольник прямоугольный, через теорему Пифагора найдём r:

QN2 + ON2 = OQ2
122 + (8 r)2 = (8 + r)2
144 + 64 16r + r2 = 64 + 16r +r2
16r + r2 16r r2 = 64 144 64
32r = 144
r = 144/(32) = 4,5

Ответ: 4,5.