На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD = 45, MD = 15, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
MQ – хорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:
MD = DQ = 15
Найдём АМ:
AM = AD – MD = 45 – 15 = 30
Найдём AQ:
AQ = AD + DQ = 45 + 15 = 60
По теореме о секущих:
AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 30·60
ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:
\frac{AK}{AH}=\frac{AD}{AC}\\AK\cdot AC=AH\cdot AD\\30\cdot 60=AH\cdot 45\\AH=\frac{30\cdot 60}{45}=40
Ответ: 40.