На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD = 45, MD = 15, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)

Решение:

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ ≠ АС) как на диаметре построена полуокружность

    Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
    MQхорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:

MD = DQ = 15

    Найдём АМ:

AM = AD – MD = 45 – 15 = 30

    Найдём AQ:

AQ = AD + DQ = 45 + 15 = 60

    По теореме о секущих:

AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 30·60

    ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:

\frac{AK}{AH}=\frac{AD}{AC}\\AK\cdot AC=AH\cdot AD\\30\cdot 60=AH\cdot 45\\AH=\frac{30\cdot 60}{45}=40

Ответ: 40.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.4 / 5. Количество оценок: 11

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, чтобы я тебе ответил.