В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13:12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 20.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника (ΔАВМ) делит третью сторону (ВМ) на отрезки (КM и КB), пропорциональные двум другим сторонам (АМ и АВ).
Косинус острого угла (∠А) прямоугольного треугольника (ΔАВМ) – это отношение прилежащего катета (АМ) к гипотенузе (АВ).
Получаем:
cos\angle A=\frac{AM}{AB}=\frac{KM}{KB}=\frac{12}{13}
Из основного тригонометрического тождества, найдём значение sin∠A:
sin^{2}\angle A+cos^{2}\angle A=1\\sin^{2}\angle A=1-cos^{2}\angle A\\sin\angle A=\sqrt{1-cos^{2}\angle A}=\sqrt{1-(\frac{12}{13})^{2}}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}
По теореме синусов, из справочного материала ОГЭ, найдём R:
\frac{BC}{sin\angle A}=2R\\\frac{20}{\frac{5}{13}}=2R\\20\cdot \frac{13}{5}=2R\:{\color{Blue} |: 2}\\10\cdot \frac{13}{5}=R\\26=R
Ответ: 26.