В выпуклом четырёхугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Точка К принадлежит отрезку ВD. Известно, что АO = 12, СО = 16, ВD = 18. Найдите КD, если площадь треугольника АВК в 5 раз меньше площади четырёхугольника АВСD.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
Площадь четырёхугольника АВСD c диагоналями BD = 18 и AC = AO + CO = 12 + 16 = 28, находится по формуле:
SАBCD = \frac{1}{2}·АC·BD·sinα = \frac{1}{2}·28·18·sinα = 252·sinα
(1) По условию задачи площадь ΔABK равна:
SABK = \frac{1}{5}·SАBCD = \frac{1}{5}·252·sinα = 50,4·sinα
Площадь ΔABK можно вычислить по другой формуле:
SABK = \frac{1}{2}·KB·AH
Из прямоугольного ΔAHO найдём AН:
sin\alpha=\frac{AH}{AO}\\sin\alpha=\frac{AH}{12}\\AH=12\cdot sin\alpha
(2) Подставим в формулу площади ΔABK:
SABK = \frac{1}{2}·KB·12·sinα = 6·KB·sinα
Приравняем две формулы (1) и (2), найдём KB:
50,4·sinα = 6·KB·sinα |:sinα
50,4 = 6·KB
KB=\frac{50,4}{6}=8,4
Найдём KD:
KD = BD – KB = 18 – 8,4 = 9,6
Ответ: 9,6.