В выпуклом четырёхугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Точка К принадлежит отрезку ВD. Известно, что АO = 12, СО = 16, ВD = 18. Найдите КD, если площадь треугольника АВК в 5 раз меньше площади четырёхугольника АВСD.

Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)

Решение:

    Площадь четырёхугольника АВСD c диагоналями BD = 18 и AC = AO + CO = 12 + 16 = 28, находится по формуле:

SАBCD = \frac{1}{2}·АC·BD·sinα = \frac{1}{2}·28·18·sinα = 252·sinα 

    (1) По условию задачи площадь ΔABK равна:

SABK = \frac{1}{5}·SАBCD = \frac{1}{5}·252·sinα = 50,4·sinα 

В выпуклом четырёхугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О.

    Площадь ΔABK можно вычислить по другой формуле:

SABK = \frac{1}{2}·KB·AH 

    Из прямоугольного ΔAHO найдём:

sin\alpha=\frac{AH}{AO}\\sin\alpha=\frac{AH}{12}\\AH=12\cdot sin\alpha   

    (2) Подставим в формулу площади ΔABK:

SABK = \frac{1}{2}·KB·12·sinα = 6·KB·sinα 

    Приравняем две формулы (1) и (2), найдём KB:

50,4·sinα = 6·KB·sinα |:sinα
50,4 = 6·KB
KB=\frac{50,4}{6}=8,4
   

    Найдём KD:

KD = BD – KB = 18 – 8,4 = 9,6

Ответ: 9,6.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.7 / 5. Количество оценок: 43

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, чтобы я тебе ответил.