На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 15, MD = 12, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Источник: statgrad
Решение:
Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
MQ – хорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:
MD = DQ = 12
Найдём АМ:
AM = AD – MD = 15 – 12 = 3
Найдём AQ:
AQ = AD + DQ = 15 + 12 = 27
По теореме о секущих:
AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 3·27
ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:
\frac{AK}{AH}=\frac{AD}{AC}\\AK\cdot AC=AH\cdot AD\\3\cdot 27=AH\cdot 15\\AH=\frac{3\cdot 27}{15}=5,4
Ответ: 5,4.