Решение №3684 В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12.

Решение:

    ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:

AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6

    Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
    Построим отрезок DM параллельный КЕ:

    Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
    Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
    Найдём среднюю линию DM:

DM=\frac{BE}{2}=\frac{12}{2}=6

    Найдём среднюю линию КЕ:

KE=\frac{DM}{2}=\frac{6}{2}=3

    Найдём ВК:

ВК = ВЕ – КЕ = 12 – 3 = 9

    Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:

AB=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=\sqrt{9\cdot 13}=3\sqrt{13}

    Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:

ВС = 2·АВ = 2·3√13 = 6√13

    Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:

AE=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=\sqrt{9·5}=3\sqrt{5}

    Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:

АС = 3·АЕ = 3·3√5 = 9√5

Ответ: 3√13; 6√13; 9√5.