В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.
Источник: statgrad
Решение:
ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{20}{2}=10
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
Найдём среднюю линию DM:
DM=\frac{BE}{2}=\frac{20}{2}=10
Найдём среднюю линию КЕ:
KE=\frac{DM}{2}=\frac{10}{2}=5
Найдём ВК:
ВК = ВЕ – КЕ = 20 – 5 = 15
Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:
AB=\sqrt{10^{2}+15^{2}}=\sqrt{100+225}=\sqrt{325}=\sqrt{25\cdot 13}=5\sqrt{13}
Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:
ВС = 2·АВ = 2·5√13 = 10√13
Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:
AE=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}
Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:
АС = 3·АЕ = 3·5√5 = 15√5
Ответ: 5√13; 10√13; 15√5.