В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.

Источник: statgrad

Решение:

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96.

    ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:

AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{20}{2}=10

    Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
    Построим отрезок DM параллельный КЕ:

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину,

    Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
    Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
    Найдём среднюю линию DM:

DM=\frac{BE}{2}=\frac{20}{2}=10

    Найдём среднюю линию КЕ:

KE=\frac{DM}{2}=\frac{10}{2}=5

    Найдём ВК:

ВК = ВЕ – КЕ = 20 – 5 = 15

    Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:

AB=\sqrt{10^{2}+15^{2}}=\sqrt{100+225}=\sqrt{325}=\sqrt{25\cdot 13}=5\sqrt{13}

    Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:

ВС = 2·АВ = 2·5√13 = 10√13

    Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:

AE=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}

    Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:

АС = 3·АЕ = 3·5√5 = 15√5

Ответ: 5√13; 10√13; 15√5.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.