Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 14, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 110° и 100°.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

    Если M равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника ABCD, то его можно вписать в окружность с радиусами MA, MD, MC, MB. Нужно найти длину диаметра AD:

Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин.

    Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°:

∠С + ∠А = 180°
100° + ∠А = 180°
∠А = 180° – 100° = 80°

    ΔBMA – равнобедренный, т.к. МА = МВ, как радисы, значит углы при основании АВ равны:

∠А = ∠АВМ = 80°

    Найдём ∠МВС:

∠МВС = ∠В – ∠АВМ = 110° – 80° = 30°

    ΔBMС – равнобедренный, т.к. МС = МВ, как радисы, значит углы при основании ВС равны:

∠МВС = ∠МСВ = 30°

    Сумма углов любого треугольника равна 180°, найдём 3-й угол в ΔBMС:

∠ВМС = 180° – ∠МВС∠МСВ = 180° – 30°30° = 120°

    В ΔBMС по теореме синусов, найдём MB радиус окружности:

\frac{CB}{sin\angle BMC}=\frac{MB}{sin\angle MCB}\\\frac{14}{sin\:120°}=\frac{R}{sin\:30°}\\\frac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{R}{\frac{1}{2}}\:{\color{Blue} |: 2}\\\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{R}{1}\\R=\frac{14\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}} }{\sqrt{3}\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}} }=\frac{14\sqrt{3}}{3}

    Найдём AD:

AD = 2·R = 2\cdot \frac{14\sqrt{3}}{3}=\color{Red} \frac{28\sqrt{3}}{3}

Ответ: \frac{28\sqrt{3}}{3}.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.