Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 14, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 110° и 100°.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Если M равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника ABCD, то его можно вписать в окружность с радиусами MA, MD, MC, MB. Нужно найти длину диаметра AD:
Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°:
∠С + ∠А = 180°
100° + ∠А = 180°
∠А = 180° – 100° = 80°
ΔBMA – равнобедренный, т.к. МА = МВ, как радисы, значит углы при основании АВ равны:
∠А = ∠АВМ = 80°
Найдём ∠МВС:
∠МВС = ∠В – ∠АВМ = 110° – 80° = 30°
ΔBMС – равнобедренный, т.к. МС = МВ, как радисы, значит углы при основании ВС равны:
∠МВС = ∠МСВ = 30°
Сумма углов любого треугольника равна 180°, найдём 3-й угол в ΔBMС:
∠ВМС = 180° – ∠МВС – ∠МСВ = 180° – 30° – 30° = 120°
В ΔBMС по теореме синусов, найдём MB – радиус окружности:
\frac{CB}{sin\angle BMC}=\frac{MB}{sin\angle MCB}\\\frac{14}{sin\:120°}=\frac{R}{sin\:30°}\\\frac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{R}{\frac{1}{2}}\:{\color{Blue} |: 2}\\\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{R}{1}\\R=\frac{14\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}} }{\sqrt{3}\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}} }=\frac{14\sqrt{3}}{3}
Найдём AD:
AD = 2·R = 2\cdot \frac{14\sqrt{3}}{3}=\color{Red} \frac{28\sqrt{3}}{3}
Ответ: \frac{28\sqrt{3}}{3}.