Решение №3456 Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин.

Решение:

    Если M равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника ABCD, то его можно вписать в окружность с радиусами MA, MD, MC, MB. Нужно найти длину диаметра AD:

    Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°:

∠С + ∠А = 180°
93° + ∠А = 180°
∠А = 180° – 93° = 87°

    ΔBMA – равнобедренный, т.к. МА = МВ, как радиусы, значит углы при основании АВ равны:

∠А = ∠АВМ = 87°

    Найдём ∠МВС:

∠МВС = ∠В – ∠АВМ = 132° – 87° = 45°

    ΔBMС – равнобедренный, т.к. МС = МВ, как радиусы, значит углы при основании ВС равны:

∠МВС = ∠МСВ = 45°

    Сумма углов любого треугольника равна 180°, найдём 3-й угол в ΔBMС:

∠ВМС = 180° – ∠МВС – ∠МСВ = 180° – 45° – 45° = 90°

    В прямоугольном ΔBMС по теореме Пифагора, найдём MB – радиус окружности:

МВ² + МС² = ВС²
МВ² + МВ² = 18²
2·МВ² = 324
МВ² = 324/2
МВ² = 162
МВ = √162
МВ = \sqrt{2\cdot 81}
МВ = 9√2
R = 9√2

    Найдём AD:

AD = 2·R = 2·9√2 = 18√2

Ответ: 18\sqrt{2}.