Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 18, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 132° и 93°.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Если M равноудалена от всех вершин выпуклого четырёхугольника ABCD, то его можно вписать в окружность с радиусами MA, MD, MC, MB. Нужно найти длину диаметра AD:
Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°:
∠С + ∠А = 180°
93° + ∠А = 180°
∠А = 180° – 93° = 87°
ΔBMA – равнобедренный, т.к. МА = МВ, как радисы, значит углы при основании АВ равны:
∠А = ∠АВМ = 87°
Найдём ∠МВС:
∠МВС = ∠В – ∠АВМ = 132° – 87° = 45°
ΔBMС – равнобедренный, т.к. МС = МВ, как радисы, значит углы при основании ВС равны:
∠МВС = ∠МСВ = 45°
Сумма углов любого треугольника равна 180°, найдём 3-й угол в ΔBMС:
∠ВМС = 180° – ∠МВС – ∠МСВ = 180° – 45° – 45° = 90°
В ΔBMС по теореме синусов, найдём MB – радиус окружности:
\frac{CB}{sin\angle BMC}=\frac{MB}{sin\angle MCB}\\\frac{18}{sin\:90°}=\frac{R}{sin\:45°}\\\frac{18}{1}=\frac{R}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\18=\frac{R\cdot 2}{\sqrt{2}}\:{\color{Blue} |: 2}\\9=\frac{R}{\sqrt{2}}\\R=9\sqrt{2}
Найдём AD:
AD = 2·R = 2·9√2 = 18√2
Ответ: 18\sqrt{2}.