В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD = 12, ВС = 10.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:
Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:
\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}
Тогда ВК = 5х и АК = 6х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:
CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(5x)^{2}+10^{2}}=\sqrt{25x^{2}+100}=\sqrt{25\cdot (x^{2}+4)}=5\cdot \sqrt{x^{2}+4}\\DK=\sqrt{AK^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(6x)^{2}+12^{2}}=\sqrt{36x^{2}+144}=\sqrt{36\cdot (x^{2}+4)}=6\cdot \sqrt{x^{2}+4}
По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE).
KE^{2}=CK\cdot DK\\KE^{2}=5\cdot \sqrt{x^{2}+4}\cdot 6\cdot \sqrt{x^{2}+4}=30\cdot (x^{2}+4)\\KE=\sqrt{30\cdot (x^{2}+4)}
Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:
\frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK}\\EP=\frac{AD\cdot KE}{DK}\\EP=\frac{12\cdot \sqrt{30\cdot (x^{2}+4)}}{6\cdot \sqrt{x^{2}+4}}=\frac{2\cdot \sqrt{30}\cdot\sqrt{ (x^{2}+4)}}{1\cdot \sqrt{x^{2}+4}}=2\sqrt{30}
Ответ: 2\sqrt{30}.