В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD = 12, ВС = 10.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

    Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:

В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС

    Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:

\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}

    Тогда ВК = 5х и АК = 6х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:

CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(5x)^{2}+10^{2}}=\sqrt{25x^{2}+100}=\sqrt{25\cdot (x^{2}+4)}=5\cdot \sqrt{x^{2}+4}\\DK=\sqrt{AK^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(6x)^{2}+12^{2}}=\sqrt{36x^{2}+144}=\sqrt{36\cdot (x^{2}+4)}=6\cdot \sqrt{x^{2}+4}

    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE). 

KE^{2}=CK\cdot DK\\KE^{2}=5\cdot \sqrt{x^{2}+4}\cdot 6\cdot \sqrt{x^{2}+4}=30\cdot (x^{2}+4)\\KE=\sqrt{30\cdot (x^{2}+4)}

    Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:

\frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK}\\EP=\frac{AD\cdot KE}{DK}\\EP=\frac{12\cdot \sqrt{30\cdot (x^{2}+4)}}{6\cdot \sqrt{x^{2}+4}}=\frac{2\cdot \sqrt{30}\cdot\sqrt{ (x^{2}+4)}}{1\cdot \sqrt{x^{2}+4}}=2\sqrt{30}

Ответ: 2\sqrt{30}.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.