Решение №3418 В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС.

Решение:

    Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:

    Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:

\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{7}{8}

    Тогда ВК = 7х и АК = 8х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:

CK=\sqrt{BK^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(7x)^{2}+7^{2}}=\sqrt{49x^{2}+49}=\sqrt{49\cdot (x^{2}+1)}=7\cdot \sqrt{x^{2}+1}\\DK=\sqrt{AK^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(8x)^{2}+8^{2}}=\sqrt{64x^{2}+64}=\sqrt{64\cdot (x^{2}+1)}=8\cdot \sqrt{x^{2}+1}

    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE). 

KE^{2}=CK\cdot DK\\KE^{2}=7\cdot \sqrt{x^{2}+1}\cdot 8\cdot \sqrt{x^{2}+1}=56\cdot (x^{2}+1)\\KE=\sqrt{56\cdot (x^{2}+1)}

    Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:

\frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK}\\EP=\frac{AD\cdot KE}{DK}\\EP=\frac{8\cdot \sqrt{56\cdot (x^{2}+1)}}{8\cdot \sqrt{x^{2}+1}}=\frac{8\cdot \sqrt{56}\cdot\sqrt{ (x^{2}+1)}}{8\cdot \sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot 14}=2\sqrt{14}

Ответ: 2\sqrt{14}.