Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 6, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 6.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Расстояние от стороны АВ до точки К это перпендикуляр КН. Проведём через точку К высоту параллелограмма MN:
ΔАКН = ΔАКМ, как прямоугольные треугольники (∠КНА = ∠КМА = 90°), с общей гипотенузой АК и равными острыми углами (∠НАК = ∠МАК) образованными биссектрисой АК. Тогда равны соответствующие стороны:
КН = КМ = 6
Аналогично, ΔВНК = ΔВNK, как прямоугольные треугольники (∠ВНК = ∠ВNK = 90°), с общей гипотенузой BК и равными острыми углами (∠НBК = ∠NBК) образованными биссектрисой BК. Тогда равны соответствующие стороны:
КН = КN = 6
Найдём чему равна высота параллелограмма MN:
MN = КМ + КN = 6 + 6 = 12
Найдём площадь параллелограмма АВСD:
SАВСD = ah = BC·MN = 6·12 = 72
Ответ: 72.