Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке Т. Найдите отношение площади треугольника АDТ к площади четырёхугольника СКDТ.

Источник: ОГЭ Лысенко 2022 (40 вар)

Решение:

    Обозначим SΔABC , как S.
    ΔABK и ΔAKC равновеликие, т.к. образованы медианой AK, значит имеют равную площадь:

    ΔBAD и ΔBDK так же равновеликие, т.к. образованы медианой BD, значит имеют равную площадь:

Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке Т.

    Площадь ΔBAD можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

blank

    Отсюда:

blank

blank

    Площадь ΔADT можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

blank

    Выразим площадь четырёхугольника CKDT:

SCKDT = SΔAKC – SΔADT = blank

    Тогда искомое отношение площадей равно:

blank

    По теореме Менелая для ΔAKC:

blank

blank

blank

blank

    Получаем, что СТ:ТА = 2:1, СТ = 2х, ТА = 1х, АС = СТ + ТА = 2х + 1х = 3х.
    По теореме Менелая для ΔBCT:

blank

blank

blank

blank

    Получаем, что BD:DT = 3:1, BD = 3х, DT = 1х.
    Найдём искомое отношение площадей:

blank

Ответ: 1:5.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.