Решение №2549 Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая …

Решение:

    Обозначим S_ΔABC , как S.
    ΔABK и ΔAKC равновеликие, т.к. образованы медианой AK, значит имеют равную площадь:

S_{\Delta ABK} = S_{\Delta AKC} = \frac{S}{2} 

    ΔBAD и ΔBDK так же равновеликие, т.к. образованы медианой BD, значит имеют равную площадь:

S_{\Delta BAD} = S_{\Delta BDK} = \frac{\frac{S}{2}}{2} = \frac{S}{4} 

    Площадь ΔBAD можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

S_{\Delta BAD} = S_{\Delta BAT} \cdot \frac{BD}{BT} 

    Отсюда:

\frac{S}{4} = S_{\Delta BAT} \cdot \frac{BD}{BT} \\ S_{\Delta BAT} = \frac{S}{4} : \frac{BD}{BT} = \frac{S}{4} \cdot \frac{BT}{BD}

    Площадь ΔADT можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

{\color{Magenta} S_{\Delta ADT} }= S_{\Delta BAT} \cdot \frac{DT}{BT} = \frac{S}{4} \cdot \frac{BT}{BD} \cdot \frac{DT}{BT} = {\color{Magenta} \frac{S}{4} \cdot \frac{DT}{BD}} 

    Выразим площадь четырёхугольника CKDT:

{\color{DarkOrange} S_{CKDT}} = S_{\Delta AKC} – S_{\Delta ADT} = {\color{DarkOrange} \frac{S}{2} – \frac{S}{4} \cdot \frac{DT}{BD}}

    Тогда искомое отношение площадей равно:

\frac{{\color{Magenta}S_{ADT}}}{{\color{DarkOrange}S_{CKDT}}} = \frac{{\color{Magenta}\frac{S}{4} \cdot \frac{DT}{BD}}}{{\color{DarkOrange}\frac{S}{2} – \frac{S}{4} \cdot \frac{DT}{BD}}} 

    По теореме Менелая для ΔAKC:

\frac{CT}{TA} \cdot \frac{AD}{DK} \cdot \frac{BK}{BC} = 1 \\ \frac{CT}{TA} \cdot \frac{AD}{AD} \cdot \frac{BK}{BK + BK} = 1 \\ \frac{CT}{TA} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \\ \frac{CT}{TA} = \frac{2}{1}

    Получаем, что СТ:ТА = 2:1, СТ = 2х, ТА = 1х, АС = СТ + ТА = 2х + 1х = 3х.
    По теореме Менелая для ΔBCT:

\frac{CK}{KB} \cdot \frac{BD}{DT} \cdot \frac{TA}{AC} = 1 \\ \frac{CK}{CK} \cdot \frac{BD}{DT} \cdot \frac{1x}{3x} = 1 \\ 1 \cdot \frac{BD}{DT} \cdot \frac{1}{3} = 1 \\ \frac{BD}{DT} = 3

    Получаем, что BD:DT = 3:1, BD = 3х, DT = 1х.
    Найдём искомое отношение площадей:

\frac{{\color{Magenta}S_{ADT}}}{{\color{DarkOrange}S_{CKDT}}} = \frac{{\color{Magenta}\frac{S}{4} \cdot \frac{DT}{BD}}}{{\color{DarkOrange}\frac{S}{2} – \frac{S}{4} \cdot \frac{DT}{BD}}} = \frac{\frac{S}{4} \cdot  \frac{1x}{3x}}{\frac{S}{2} – \frac{S}{4} \cdot  \frac{1x}{3x}} = \frac{\frac{S}{12}}{\frac{S}{2} – \frac{S}{12}} = \frac{\frac{S}{12}}{\frac{6S}{12} – \frac{S}{12}} = \frac{\frac{S}{12}}{\frac{5S}{12}} = \frac{S}{12} \cdot \frac{12}{5S} = \frac{1}{5}

Ответ: 1:5.