Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вар)

Решение:

    Построим рисунок по условию, + проведём радиусы: ОA, ОF, OB, EF, EC, ED, построим перпендикуляры AKCD, OPEC:

Решение №2523 Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D ...

    AK – искомое расстояние между прямыми АВ и CD.
    ΔCAK∼ΔPOE, по двум равным углам (∠CKA=∠OPE = 90°, ∠CAK = ∠POE, т.к. АС||OP, AK||OE). Запишем соотношение сторон:

    Выразим АК:

blank

    Найдём ОЕ, как сумму двух радиусов:

OE = OF + EF = 25 + 100 = 125

    AOPC – прямоугольник (EC⊥AC, OA⊥AC, как радиусы и касательная), противоположные стороны равны:

ОА = РС = 25
АС = ОР

    Найдём EP, как разность двух радиусов:

EP = EC – PC = EC – OA = 100 – 25 = 75

    В прямоугольном ΔОРЕ по теореме Пифагора найдём ОР:

ОР2 = ОE2 – EP2 = 1252 – 752 = (125 – 75)·(125 + 75) = 50·200 = 10000
blank

    Найдём искомое расстояние АК:

blank

Ответ: 80.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.