В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Решение:

    Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО:

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

    Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны

AB = СD

    Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:

ВС + AD = AB + CD = 2AB

    Периметр равен 160, сумма всех сторон трапеции:

ВС + AD + AB + CD = 160
2AB + 2AB = 160
4AB = 160
AB = 160/4 = 40
CD = 40

    Площадь трапеции равна 1280:

blank

blank

blank

1280 = 40МК

blank

МК = ВН = СР = 32

    В прямоугольном ΔАВH найдём АН по теореме Пифагора:

blank

    АН = РD = 24 – как отрезки образованные высотами равнобедренной трапеции.

ВС + AD = 2·AB
ВС + HP + AH + PD = 2·40
2ВС + 2·24 = 80
2ВС = 80 – 48
2ВС = 32
ВС = 32/2 = 16

    Найдём AD:

AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 16 + 2·24 = 64

    Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 32 – х.
    ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей. 
    Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:

blank

blank

blank

4x = 1·(32 – x)
4x = 32 – x
4x + x = 32
5x = 32
x = 32/5 = 6,4

Ответ: 6,4.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставляйте контакт, если хотите, что бы я вам ответил.