Решение №2294 В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Решение:

Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО:

Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны:

AB = СD

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:

ВС + AD = AB + CD = 2AB

Периметр равен 160, сумма всех сторон трапеции:

ВС + AD + AB + CD = 160
2AB + 2AB = 160
4AB = 160
AB = 160/4 = 40
CD = 40

Площадь трапеции равна 1280:

$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$

$1280=\frac{BC+AD}{2}\cdot MK$

$1280=\frac{2\cdot AB}{2}\cdot MK$

$1280=\frac{2\cdot 40}{2}\cdot MK$

1280 = 40МК

$MK=\frac{1280}{40}=32$

МК = ВН = СР = 32

В прямоугольном ΔАВH найдём АН по теореме Пифагора:

$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{40^{2}-32^{2}}=\sqrt{576}=24$

АН = РD = 24 – как отрезки образованные высотами равнобедренной трапеции.

ВС + AD = 2·AB
ВС + HP + AH + PD = 2·40
2ВС + 2·24 = 80
2ВС = 80 – 48
2ВС = 32
ВС = 32/2 = 16

Найдём AD:

AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 16 + 2·24 = 64

Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 32 – х.
ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей.
Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:

$\frac{BC}{AD}=\frac{MO}{OK}$

$\frac{16}{64}=\frac{x}{32-x}$

$\frac{1}{4}=\frac{x}{32-x}$

4x = 1·(32 – x)
4x = 32 – x
4x + x = 32
5x = 32
x = 32/5 = 6,4

Ответ: 6,4.