Решение №1647 В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96.

Решение:

    ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:

AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{96}{2}=48

    Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
    Построим отрезок DM параллельный КЕ:

    Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
    Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
    Найдём среднюю линию DM:

DM=\frac{BE}{2}=\frac{96}{2}=48

    Найдём среднюю линию КЕ:

KE=\frac{DM}{2}=\frac{48}{2}=24

    Найдём ВК:

ВК = ВЕ – КЕ = 96 – 24 = 72

    Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:

AB=\sqrt{48^{2}+72^{2}}=\sqrt{2304+5184}=\sqrt{7488}=\sqrt{576\cdot 13}=24\sqrt{13}

    Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:

ВС = 2·АВ = 2·24√13 = 48√13

    Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:

AE=\sqrt{48^{2}+24^{2}}=\sqrt{2304+576}=\sqrt{2880}=\sqrt{576\cdot 5}=24\sqrt{5}

    Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:

АС = 3·АЕ = 3·24√5 = 72√5

Ответ: 24√13; 48√13; 72√5.