Решение №1647 В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.

Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Решение:

ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:

$AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{96}{2}=48$

Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:

Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
Найдём среднюю линию DM:

$DM=\frac{BE}{2}=\frac{96}{2}=48$

Найдём среднюю линию КЕ:

$KE=\frac{DM}{2}=\frac{48}{2}=24$

Найдём ВК:

ВК = ВЕ – КЕ = 96 – 24 = 72

Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:

$AB=\sqrt{48^{2}+72^{2}}=\sqrt{24^{2}\cdot (2^{2}+3^{2})}=24\sqrt{4+9}={\color{Red} 24\sqrt{13}}$

Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:

ВС = 2·АВ = 2·24√13 = 48√13

Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:

$AB=\sqrt{48^{2}+24^{2}}=\sqrt{24^{2}\cdot (2^{2}+1^{2})}=24\sqrt{5}$

Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:

АС = 3·АЕ = 3·24√5 = 72√5

Ответ: 24√13; 48√13; 72√5.