В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.

Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Решение:

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96.

    ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:

    Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
    Построим отрезок DM параллельный КЕ:

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96.

    Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
    Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
    Найдём среднюю линию DM:

blank

    Найдём среднюю линию КЕ:

blank

    Найдём ВК:

ВК = ВЕ – КЕ = 96 – 24 = 72

    Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:

blank

    Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:

ВС = 2·АВ = 2·24√13 = 48√13

    Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:

blank

    Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:

АС = 3·АЕ = 3·24√5 = 72√5

Ответ: 24√13; 48√13; 72√5.