На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников ВFС и АFD равна половине площади трапеции.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (50 вар)
Решение:
Отметим на средней линии трапеции точку F и проведём, через неё высоту НК трапеции:
Площадь трапеции АВСD по формуле находится следующим образом:
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HK
Т.к. высота трапеции проходит, через точку Е принадлежащей средней линии, то высоты треугольников равны:
FK = FH
Сумма площадей ΔВFС и ΔАFD равна:
S_{\Delta BFC+\Delta AFD}=S_{\Delta BFC}+S_{\Delta BFC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot FH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot FK=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot FH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot FH=\frac{1}{2}\cdot FH\cdot (BC+AD)=\frac{BC+AD}{2}\cdot FH=\frac{BC+AD}{2}\cdot \frac{HK}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC+AD}{2}\cdot HK
Сравнив площади, видим что сумма площадей ΔВFС и ΔАFD равна половине площади трапеции (т.к. высота трапеции в два раза больше высоты треугольника).
Что и требовалось доказать.