Точка М – середина боковой стороны АВ трапеции АВСD, а МС = МD. Докажите, что трапеция АВСD прямоугольная.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
М – середина боковой стороны, проведём среднюю линию MN трапеции АВСD:
По условию MC = MD, значит ΔСМD – равнобедренный. Точка N – середина CD (т.к. MN средняя линия), CN = DN, тогда MN в равнобедренном ΔСМD, является медианой, а значит, по свойству, биссектрисой и высотой. Тогда ∠MNC = 90°, прямой.
∠MNC = ∠ADC = 90°, как соответственные при MN||AD и секущей CD. Если один угол в трапеции прямой, значит она прямоугольная.
Что и требовалось доказать.