Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Проведём, через произвольную точку F, высоту параллелограмма MH, части которой FM и FH будут являться высотами треугольников:
Площадь параллелограмма ABCD находится следующим образом:
S_{ABCD}=AD\cdot MH
Выразим сумму площадей треугольников ΔBFC и ΔAFD:
S_{\Delta BFC}+S_{\Delta AFD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot FM+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot FH=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot FM+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot FH=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot (FM+FH)=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot MH=\frac{AD\cdot MH}{2}=\frac{S_{ABCD}}{2}
Что и требовалось доказать.