На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD равна половине площади трапеции.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

    Отметим на средней линии трапеции точку Е и проведём, через неё высоту НК трапеции:

На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку Е.

    Площадь трапеции АВСD по формуле находится следующим образом:

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HK

    Т.к. высота трапеции проходит, через точку Е принадлежащей средней линии, то высоты треугольников равны:

EK = EH

    Сумма площадей ΔВЕС и ΔАЕD равна:

S_{\Delta BEC+\Delta AED}=S_{\Delta BEC}+S_{\Delta BEC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot EK=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot EH=\frac{1}{2}\cdot EH\cdot (BC+AD)=\frac{BC+AD}{2}\cdot EH=\frac{BC+AD}{2}\cdot \frac{HK}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC+AD}{2}\cdot HK

    Сравнив площади, видим что сумма площадей ΔВЕС и ΔАЕD равна половине площади трапеции (т.к. высота трапеции в два раза больше высоты треугольника).
    Что и требовалось доказать.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 14

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.