Решение №2714 Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АВСD.

Решение:

    Проведём через точку Е высоту НК трапеции ABCD:

     ЕН является высотой ΔВСЕ, ЕК является высотой ΔADE.
     Рассмотрим ΔЕНВ и ΔЕAK, они прямоугольные (∠ВНЕ = ∠КАЕ = 90°), гипотенузы ЕВ = АЕ, т.к. Е середина, ∠НВЕ = ∠ЕАК, как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.
    Значит ΔЕНВ = ΔЕAK, тогда соответствующие стороны равны:

ЕН = ЕК

     Площадь трапеции АВСD находится по формуле:

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HK=\frac{1}{2}\cdot(BC+AD)\cdot HK

     Площадь ΔВСЕ:

S_{BCE}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EH=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EK

     Площадь ΔADE:

S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot EK

     Cумма площадей треугольников равна:

S_{BCE}+S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EK+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot EK=\frac{1}{2}\cdot EK\cdot (BC+AD)=\frac{1}{2}\cdot (BC+AD)\cdot EK

     Сравним формулы площади трапеции и суммы площадей треугольников, видим, что разница только в EK и HK, но:

EK=\frac{HK}{2}

     Получаем, что и сумма площадей треугольников ВСЕ и АDЕ равна половине площади трапеции.
     Что и требовалось доказать.