Биссектрисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, AD и CD.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Решение:

Биссектрисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС.

    Расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Значит требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD, т.е. MN = ME = MK.
   
Рассмотрим прямоугольные ΔAMN и ΔAME. ∠ANM = ∠AEM = 90º. ∠MAN = ∠MAE (т.к. AM – биссектриса ∠BAD по условию). Гипотенуза AMобщая.
    Следовательно, ∆AMK = ∆AMF (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

MN =

    Аналогично, из равенства прямоугольных ΔDMK и ΔDME (∠MDE = ∠MDK, т.к. MD – биссектриса; гипотенуза MD общая), следует:

MK = ME

    Тогда, MN = MЕ и MK = ME, значит:

MN = = MK

Что и требовалось доказать.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.8 / 5. Количество оценок: 22

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.