Биссектрисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, AD и CD.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Значит требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD, т.е. MN = ME = MK.
Рассмотрим прямоугольные ΔAMN и ΔAME. ∠ANM = ∠AEM = 90º. ∠MAN = ∠MAE (т.к. AM – биссектриса ∠BAD по условию). Гипотенуза AM – общая.
Следовательно, ∆AMN = ∆AME (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
MN = MЕ
Аналогично, из равенства прямоугольных ΔDMK и ΔDME (∠MDE = ∠MDK, т.к. MD – биссектриса; гипотенуза MD общая), следует:
MK = ME
Тогда, MN = MЕ и MK = ME, значит:
MN = MЕ = MK
Что и требовалось доказать.