Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если середины его сторон последовательно соединить отрезками, то получится правильный шестиугольник.
Источник: ОГЭ Лысенко 2022 (40 вар)
Решение:
Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны.
Найдём сумму углов шестиугольника:
180º·(n – 2) = 180º·(6 – 2) = 180º·4 = 720º
Найдём чему равен один угол:
720º/6 = 120º
Рассмотрим ΔРАК и ΔKBL, в них РА = АК = КВ = BL, т.к. точки Р, К и L середины равных сторон правильного шестиугольника, ∠РАК = ∠KBL = 120°, как вершины правильного шестиугольника.
Получаем ΔРАК = ΔKBL по двум равным сторонам и углу между ними. Отсюда РК = КL, аналогично равны и остальные стороны шестиугольника KLMNOP.
Найдём углы этого шестиугольника:
∠PKL = ∠AKB – ∠AKP – ∠BKL
∠AKB = 180°, он развёрнутый
∠AKP = ∠BKL углы при основаниях равных равнобедренных треугольников:
\angle AKL=\angle BKL=\frac{180^{\circ }–\angle PAK}{2}=\frac{180^{\circ }–120^{\circ }}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }
Тогда:
∠PKL = ∠AKB – ∠AKP – ∠BKL = 180° – 30° – 30° = 120°
Аналогично, все остальные углы шестиугольника KLMNOP равны 120°. Значит, KLMNOP правильный шестиугольник.
Что и требовалось доказать.