Известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и КСD подобны.

Источник задания: ОГЭ 2021 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Решение:

Известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АD и ВС

    В ΔКАВ и ΔКСD ∠К общий.
    Четырёхугольник АВСD вписан в окружность сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180º
∠ABC = 180º – ∠ADC

    ∠ADC и ∠СDK смежные их сумма равна 180º:

∠ADC + ∠СDK = 180º
∠СDK = 180º – ∠ADC

    Из этих двух равенств получаем:

∠ABC = ∠СDK

    Тогда ΔКАВ и ΔКСD подобны по двум равным углам.
    Что и требовалось доказать.