Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
Расстояния от центра окружности О до хорд АВ и CD это перпендикуляры ОН и ОК соответственно:
Построим радиусы ОВ и ОА, ΔАОВ равнобедренный, ОН является высотой, медианой и биссектрисой. Значит АН = НВ.
Найдём НВ:
НВ = АВ/2 = 16/2 = 8
ΔОНВ прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём радиус ОВ:
OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17
Аналогично, построим радиусы OC, OD. Получаем равнобедренный ΔCOD с высотой и медианой ОК.
ΔОКC прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём KС:
KC=\sqrt{OC^{2}–KO^{2}}=\sqrt{17^{2}–8^{2}}=\sqrt{289–64}=\sqrt{225}=15
Найдём длину хорды СD:
CD = KC·2 = 15·2 = 30
Ответ: 30.