Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
Источник: statgrad
Решение:
Расстояние от центра О до хорды АВ это перпендикуляр ОН:
Построим радиусы ОВ и ОА, ΔАОВ равнобедренный, ОН является высотой, медианой и биссектрисой. Значит АН = НВ.
Найдём НВ:
НВ = АВ/2 = 40/2 = 20
ΔОНВ прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём радиус ОВ:
OB=\sqrt{OH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{21^{2}+20^{2}}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29
Аналогично, построим радиусы OC, OD и расстояние от центра О до хорда CD. Получаем равнобедренный ΔCOD с высотой и медианой ОК.
Найдём КD:
KD = CD/2 = 42/2 = 21
ΔОКD прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём OK:
OK=\sqrt{OD^{2}–KD^{2}}=\sqrt{OB^{2}–KD^{2}}=\sqrt{29^{2}–21^{2}}=\sqrt{841–441}=\sqrt{400}=20
Ответ: 20.