Решение №3294 Найдите боковою сторону АВ трапеции АВСD, если углы АВС и ВСD равны соответственно 60° и 150°, а СD = 33.

Решение:

    Построим трапецию АВСD с данными углами и проведём в ней две высоты AH₁ и DH₂:

    Рассмотрим ΔCDH₂ он прямоугольный, ∠BCD и ∠DCH₂ смежные их сумма равна 180°, найдём ∠DCH₂:

∠DCH₂ = 180° – ∠BCD = 180° – 150° = 30°

    Катет (DН₂) прямоугольного треугольника (ΔCDH₂), лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (СD). Найдём DН₂:

DH_{2}=\frac{CD}{2}=\frac{33}{2}=16,5

    Высоты трапеции равны:

AH₁ = DH₂ = 16,5

    Рассмотрим прямоугольный ΔABH₁. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Найдём в нём 3-й угол ∠ВАН₁:

∠ВАН₁ = 180° – 90° – 60° = 30°

    Катет (AH₁) прямоугольного треугольника (ΔABH₁), лежащий против угла (∠АВС) в 30°, равен половине гипотенузы (AB).
    Обозначим ВН₁ = х, тогда АВ = 2х. По теореме Пифагора, найдём х:

ВН₁² + АН₁² = АВ²
х² + 16,5² = (2х)²
х² + 272,25 = 4х²
272,25 = 4х² – х²
272,25 = 3х²
90,75 = х²
х = √90,75

    Найдём АВ:

{\color{Red} AB} = 2\sqrt{90,75}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{90,75}=\sqrt{4\cdot 90,75}=\sqrt{363}=\sqrt{121\cdot 3}=11\sqrt{3}

Ответ: 11√3.