Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 2, АС = 8.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Способ 1
Решение:

    Проводим отрезок ВО. Он будет являться радиусом окружности и  перпендикуляром к касательной АВ

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C

    В полученном прямоугольном ΔАВО АВ = 2, ВО = R, АО = АС – R = 8 – R. По теореме Пифагора найдём R:

АO2 = AB2 + BO2
(8 – R)2 = 22 + R2
64 – 16R + R2 = 4 + R2
–16R + R2 – R2 = 4 – 64
–16R = –60
R = –60/(–16) = 3,75

    Найдём диаметр окружности, он равен двум радиусам:

d = 2R = 2·3,75 = 7,5

Ответ: 7,5.

Способ 2
Решение:

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину C и касается прямой АВ в точке В.

    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки к окружности проведены секущая (АС) и касательная (АB), то произведение всей секущей (АС) на ее внешнюю часть (АD) равно квадрату отрезка касательной (АB). 

АС·АD = АB2
АС·(ACDC) = АB2
8·(8 – DC) = 22
64 – 8·DC = 4
64 – 4 = 8·DC
60 = 8·DC
{\color{Red}DC} =\frac{60}{8}={\color{Red} 7,5}

Ответ: 7,5.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.1 / 5. Количество оценок: 45

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, чтобы я тебе ответил.