Решение №2189 Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, BC = 16, CF:DF = 5:3.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Решение:

Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке О:

По условию CF:DF = 5:2, пусть СF = 5x, а DF = 3x, тогда:

СD = CF + DF = 5x + 3x = 8x

Прямая ЕF||AD, ЕF||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях:

BE = 5x
AE = 3x
AB = 8x

ΔBDC подобен ΔОFD по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OFD – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОF:

$\frac{BC}{OF}=\frac{CD}{FD}$

$\frac{16}{OF}=\frac{8x}{3x}$

$\frac{16}{OF}=\frac{8}{3}$

$OF=\frac{16\cdot 3}{8}=6$

ΔABD подобен ΔEBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠BEO – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОE:

$\frac{AD}{OE}=\frac{AB}{EB}$

$\frac{48}{OE}=\frac{8x}{5x}$

$\frac{48}{OE}=\frac{8}{5}$

$OE=\frac{48\cdot 5}{8}=30$

Найдём EF:

EF = OF + OE = 6 + 30 = 36

Ответ: 36.