Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, BC = 16, CF:DF = 5:3.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке О:
По условию CF:DF = 5:2, пусть СF = 5x, а DF = 3x, тогда:
СD = CF + DF = 5x + 3x = 8x
Прямая ЕF||AD, ЕF||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях:
BE = 5x
AE = 3x
AB = 8x
ΔBDC подобен ΔОВF по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OFD – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОF:
ΔABC подобен ΔEBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠OEB – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОE:
Найдём EF:
EF = OF + OE = 6 + 30 = 36
Ответ: 36.