Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 35, BC = 21, CF:DF = 5:2.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке О:
По условию CF:DF = 5:2, пусть СF = 5x, а DF = 2x, тогда:
СD = CF + DF = 5x + 2x = 7x
Прямая ЕF||AD, ЕF||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях:
BE = 5x
AE = 2x
AB = 7x
ΔBDC подобен ΔОDF по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OFD – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОF:
\frac{BC}{OF}=\frac{CD}{FD}\\\frac{21}{OF}=\frac{7x}{2x}\\\frac{21}{OF}=\frac{7}{2}\\OF=\frac{21\cdot 2}{7}=3\cdot 2=6
ΔABD подобен ΔEBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠OEB – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОE:
\frac{AD}{OE}=\frac{AB}{EB}\\\frac{35}{OE}=\frac{7x}{5x}\\\frac{35}{OE}=\frac{7}{5}\\OE=\frac{35\cdot 5}{7}=5\cdot 5=25
Найдём EF:
EF = OF + OE = 6 + 25 = 31
Ответ: 31.