Решение №4380 Постройте график функции y=(x^2+1)(x-2)/(2-x).

Постройте график функции $y=\frac{(x^{2}+1)(x-2)}{2-x}$ .
Определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)

Решение:

y=\frac{(x^{2}+1)(x–2)}{2–x}=\frac{(x^{2}+1)(x–2)}{–(x–2)}=\frac{x^{2}+1}{–1}=–x^{2}–1

\begin{cases} y=–x^{2}–1 \\ 2–x\neq 0 \end{cases}\\\begin{cases} y=–x^{2}–1, \color{Blue} \:парабола, \:ветви \:вниз;\\ x\neq 2,\color{Blue} \:y(2)=-2^{2}-1=-5,\:A(2;-5)\notin параболе.\end{cases}

у = –х² – 1
х_верш. = $\frac{–b}{2a}=\frac{-0}{2\cdot (-1)}=0$
y_верш. = –0² – 1 = –1
(0; –1) – вершина параболы;

x	–1	–2	0	1
y	–2	–5	–1	–2

Прямая 1 проходит через (0; 0) и (2; –5):

y = kx
–5 = k·2
k = –5/2 = –2,5
y₁ = –2,5·x

Прямая 2 и 3 касаются параболы, имеют 1 общую точку, значит $\begin{cases} y=-x^{2}-1 \\ y=kx \end{cases}$ имеет единственное решение:

–х² – 1 = kx
–x² – kx – 1 = 0 |·(–1)
x² + kx + 1 = 0
D = k² – 4·1·1 = k² – 4, D = 0, 1 корень
k² – 4 = 0
k² = 4
k = ±2

y₂ = –2·x
y₃ = 2·x

Ответ: –2,5; –2; 2.