Решение №3583 Постройте график функции y=(x-1)(x^2-4)/(x-2)

Постройте график функции $y=\frac{(x–1)(x^{2}–4)}{x–2}$ и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

ОДЗ: x – 2 ≠ 0
x ≠ 2

y=\frac{(x–1)(x^{2}–4)}{x–2}=\frac{(x–1)(x^{2}–2^{2})}{x–2}=\frac{(x–1)(x–2)(x+2)}{x–2}=(x–1)(x+2)=x^{2}+2x-x-2=x^{2}+x-2

Графиком является парабола, ветви вверх (а = 1, а > 0).
Найдём координаты тоски не принадлежащей графику по ОДЗ:

y(2) = 2² + 2 – 2 = 4
(2; 4) ∉ графику параболы

Найдём координаты вершины параболы:

$x_{верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–1}{2\cdot 1}=-0,5$
y_верш (–0,5) = (–0,5)² + (–0,5) – 2 = –2,25
(–0,5; –2,25) – вершина параболы

x	1	0	–1	–2
y	0	–2	–2	0

y = m, прямая параллельная оси х или совпадающая с ней.

Ответ: –2,25; 4.