Решение №3253 Постройте график функции y=(x^2+4)(x-1)/(1-x).

Постройте график функции

$y=\frac{(x^{2}+4)(x–1)}{1–x}.$

Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (50 вар)

Решение:

y=\frac{(x^{2}+4)(x–1)}{1–x}=\frac{(x^{2}+4)(x–1)}{–(x–1)}=\frac{x^{2}+4}{–1}=–x^{2}–4

\begin{cases} y=–x^{2}–4 \\ 1–x\neq 0 \end{cases}\\\begin{cases} y=–x^{2}–4, \color{Blue} \:парабола, \:ветви \:вниз;\\ x\neq 1,\color{Blue} \:y(1)=-1^{2}-4=-5,\:A(1;-5)\notin параболе.\end{cases}

у = –х² – 4
х_верш. = $\frac{–b}{2a}=\frac{-0}{2\cdot (-1)}=0$
y_верш. = –0² – 4 = –4
(0; –4) – вершина параболы;

x	0	2	–2	–1
y	–4	–8	–8	–5

Прямая 1 (общая точка пересечения будет ниже, за пределами нарисованного мной графика) проходит через (0; 0) и (1; –5):

y = kx
–5 = k·1
k = –5
y₁ = –5·x

Прямая 2 и 3 касаются параболы, имеют 1 общую точку, значит $\begin{cases} y=-x^{2}-4 \\ y=kx \end{cases}$ имеет единственное решение:

–х² – 4 = kx
–x² – kx – 4 = 0 |·(–1)
x² + kx + 4 = 0
D = k² – 4·1·4 = k² – 16, D = 0, 1 корень
k² – 16 = 0
k² = 16
k = ±4

y₂ = –4·x
y₃ = 4·x

Ответ: –5; –4; 4.