Постройте график функции
y = |x2 + 5x + 6|.
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Источник: statgrad
Решение:
Найдем корни уравнения под модульного уравнения:
x2 + 5x + 6 = 0
D = 52 – 4·1·6 = 25 – 24 = 1 = 12
x_{1}=\frac{–5+1}{2\cdot 1}=\frac{–4}{2}=-2\\x_{2}=\frac{–5–1}{2\cdot 1}=\frac{–6}{2}=-3
Определим на каких промежутках функция положительна/отрицательна:
Раскроем знак модуля и представим функцию в виде:
| y = |x^{2} + 5x + 6|=\begin{cases} +(x^{2} + 5x + 6){\color{Blue} ,x<-3\:или\:x>-2} \\ -(x^{2} + 5x + 6) {\color{Blue} ,x∈[-3;-2]}\end{cases}=\begin{cases} x^{2} + 5x + 6{\color{Blue} ,x<-3\:или\:x>-2} \\ -x^{2} – 5x – 6 {\color{Blue} ,x∈[-3;-2]}\end{cases} |
Графиками являются части двух парабол на определённых промежутках, построим их:
График функции имеет наибольшее число общих точек с прямой у = m, когда она пересекает его 4 раза (пример одной из таких прямых показан на рисунке синей линией).
Ответ: 4.
Решение подобного задания другим способом здесь.