Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 56 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 21 минуту после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
Обозначим расстояние между городами А и В как 1. Через 21 минуту (\frac{21}{60} часа) они встретились и прошли вместе это расстояние. Тогда их общая скорость равна \frac{1}{\frac{21}{60}}.
Пусть велосипедист один проезжает расстояние 1 за х часов, тогда его скорость равна \frac{1}{x}.
Мотоциклист один проезжает расстояние 1 за х – \frac{56}{60} часов (приедет на 56 минут быстрее), тогда его скорость равна \frac{1}{x-\frac{56}{60}}.
Составим уравнение:
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-\frac{56}{60}}=\frac{1}{\frac{21}{60}}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{x-\frac{14}{15}}=\frac{1}{\frac{7}{20}}\\\frac{1\cdot (x-\frac{14}{15})+1\cdot x}{x\cdot (x-\frac{14}{15})}=\frac{20}{7}\\\frac{x-\frac{14}{15}+x}{x^{2}-\frac{14}{15}x}=\frac{20}{7}\\\frac{2x-\frac{14}{15}}{x^{2}-\frac{14}{15}x}=\frac{20}{7}\\(2x-\frac{14}{15})\cdot 7=(x^{2}-\frac{14}{15}x)\cdot 20\\14x-\frac{14\cdot 7}{15}=20x^{2}-\frac{14\cdot 20}{15}x\:{\color{Blue} |\cdot 15}\\ 15\cdot 14x-14\cdot 7=15\cdot 20x^{2}-14\cdot 20x\\-15\cdot 20x^{2}+15\cdot 14x+14\cdot 20x-14\cdot 7=0\\-300x^{2}+490x-98=0\:{\color{Blue} |: -2}\\150x^{2}-245x+49=0
D = (–245)2 – 4·150·49 = 60025 – 29400 = 30625 = 1752
x_{1}=\frac{245+175}{2\cdot 150}=\frac{420}{300}=1,4\:\: часа\\x_{2}=\frac{245-175}{2\cdot 150}=\frac{70}{300}=\frac{7\:{\color{Blue} |\cdot 2} }{30\:{\color{Blue} |\cdot 2} }=\frac{14}{60} = 14\:\:минут\:{\color{Blue} <21\:\notin }
Из условия понятно, что время в пути велосипедиста больше 21 минуты, значит оно равно 1,4 часа.
Ответ: 1,4.