Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (50 вар)
Решение:
Найдём время в пути плота:
51/3 = 17 часов
Лодка отправилась на 1 час позже, т.е. её время:
17 – 1 = 16 часов
Пусть скорость лодки х. Тогда скорость лодки по течению реки x + 3 км/ч, а против течения x – 3 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{140}{x+3} км, а на путь против течения \frac{140}{x–3} км. Зная что всего лодка была в пути 16 часов, составим уравнение:
\frac{140}{x+3}+\frac{140}{x–3}=16\\\frac{140\cdot (x–3)+140\cdot (x+3)}{(x+3)(x–3)}=16\\\frac{140x+140x}{x^{2}–3^{2}}=16\\\frac{280x}{x^{2}–9}=16\\(x^{2}–9)\cdot 16=280x\\16x^{2}-280x-144=0\:{\color{Blue} |: 8}\\2x^{2}-35x-18=0
D = (–35)2 – 4·2·(–18) = 1369 = 372
x_{1}=\frac{35+37}{2\cdot 2}=\frac{72}{4}=18\\x_{2}=\frac{35–37}{2\cdot 2}=\frac{–2}{4}=-\frac{1}{2}
Скорость лодки может быть только положительна, выбираем 18 км/ч.
Ответ: 18.