Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа после этого догнал первого.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
До выезда третьего велосипедиста первый уже ехал 1+1=2 часа и проехал 2·12=24 км, а второй ехал 1 час и проехал 10 км.
Пусть x км/ч скорость третьего велосипедиста. Скорость сближения третьего со вторым равна x–10 км/ч. Следовательно, третий догонит второго через \frac{10}{x–10} часов.
Скорость сближения третьего с первым равна x–12 км/ч и он догонит его через \frac{24}{x–12} часов.
Зная, что третий догнал первого через 2 часа после того, как он догнал второго, составим уравнение:
\frac{24}{x–12}-\frac{10}{x–10}=2\\\frac{24\cdot (x–10)–10\cdot (x–12)}{(x–12)\cdot (x–10)}=2\\\frac{24x–240–10x+120}{x^{2}–10x–12x+120}=2\\\frac{14x–120}{x^{2}–22x+120}=\frac{2}{1}
2·(x2 – 22x + 120) = 14x – 120
2x2 – 44x + 240 = 14x – 120
2x2 – 44x + 240 – 14x + 120 = 0
2x2 – 58x + 360 = 0 |:2
x2 – 29x + 180 = 0
D = (–29)2 – 4·1·180 = 121 = 112
x_{1}=\frac{29–11}{2\cdot 1}=\frac{18}{2}=9\:{\color{Blue} <12\:\notin }\\x_{2}=\frac{29+11}{2\cdot 1}=\frac{40}{2}=20
Скорость третьего велосипедиста не может быть меньше 12 км/ч (иначе он не обгонит первого велосипедиста), значит его скорость равна 20 км/ч.
Ответ: 20.